流体力学のハーゲン・ポアズイユの式（ハーゲン・ポアズイユ流れ、ポアズイユの法則）についてまとめています。
ハーゲン・ポアズイユ流れ（Hagen–Poiseuille flow）は円管を流れる流体の流れです。この流れを現した数式をハーゲン・ポアズイユの式と呼びます。この式が成り立つのは、非圧縮性で粘性をもち、なおかつ、時間で変化しない層流の流れです。言い換えれば、円管の中をゆっくり流れる流体に当てはまる式です。なお、円管は一定の直径である必要があります。
式
ハーゲン・ポアズイユの式は以下の通りです。
[
Q=frac{ΔP}{L}frac{R^4}{μ}frac{π}{8}
]
上式は、流量と圧力差（ΔP=P1-P2）の関係を現しています。圧力差は、管路の途中でも問題はありませんが、入口と出口などが一般的です。管路の長さは圧力差を計る位置と関係しており、長さが変わると、圧力差も変わります。
式が成り立つ条件（層流流れや定常流など）が満たされていれば、圧力差を計測すれば流量を明らかにすることができます。流量と圧力差が同じであるとみなすためには、流体の粘性、円管の長さLと半径Rが必要になります（π/8という定数も必要です）。粘性は物性値であり、長さや半径は仕様です。
μは流体粘度[Pa・s]です。
注意点
式は様々な表し方があります。
ΔPを動水勾配とするのは、圧力差を水頭で表現しているためです。また、流量を速度で表している場合もあります。この場合、Q=UAという連続の式を使えば上式と同じになります。Aは円の面積となり、Uは平均速度です（円管の速度分布は通常、下図のようになりますが、平均して、ひとつの速度とします）。
解説
ある液体が円管の中を流れているとします。円管のサイズ、そして、入口と出口の圧力がわかれば、流量は粘性μのみに依存し、ハーゲン・ポアズイユの式から求めることができます。
流量は円管半径Rの4乗に比例します。円管が太くなれば流量が増えるのは当然ですが、具体的には、半径の4乗で増えます。粘性μには反比例します。油のような液体の方が、より粘性の低い水などよりも、流量が減ります。
NS方程式との関係
ハーゲン・ポアズイユの式は、ナビエ・ストークスの方程式から求まる厳密解（近似のない答え）の一つです。しかし、解を求めるにあたって、様々な条件がつけられています。
- 層流
- 定常流（時間変化しない流れ）
- 断面速度なし
- ノースリップ（壁面で速度0）
- 連続流体
ナビエ・ストークスの方程式は、解くのが難しいと言われている方程式です。
試験について
この式・法則は大学の定期試験や資格の試験（技術士など）で出題されることが多いです。自分で導出することも大事かもしれませんし、テストで導出自体が出題される場合もあります。しかしながら、それほど複雑な式ではないので、覚えてしまった方が早いかもしれません。
